В 2005 году окончил с отличием Казахский экономический университет имени Т. Рыскулова по специальности «Финансы и бухгалтерский учет». В 2004 году обучался в Международной академии бизнеса, специализация – модуль управления MBA программы (профессиональный менеджер). В 2008-2009 годах прошел обучение в London Business School в рамках международной программы «Болашақ», где получил степень магистра финансов (корпоративные финансы). Также выпусником Республиканской специализированной физико-математической школы интернат им Жаутыкова.   

Профессиональную деятельность Марат Елибаев начал в 2004 году в компании «большой четверки» Deloitte на позиции аудитора и старшего аудитора, где проводил аудит проектов в отраслях металлургии, горнодобывающей промышленности, нефти и газа, транспорта и логистики, а также государственных компаний. 

С 2007 по 2010 годы продолжил карьерный путь в компании PricewaterhouseCoopers в должности менеджера Отдела по слияниям и поглощениям. 

В 2010-2014 годы занимал должность инвестиционного директора/вице-президента в компании CITIC Kazyna Investment Fund I L.P. 

С 2014 года занимал должность главного банкира Департамента энергетики Евразия, Среднего Востока и Африки Европейского банка реконструкции и развития (ЕБРР), где был ответственным за развитие программы ЕБРР по возобновляемым источникам энергии в Казахстане.

С  февраля 2022 по декабрь 2023 года занимал должность Заместителя Председателя Правления АО «Банк Развития Казахстана».

Решением Единственного акционера АО «Банк Развития Казахстана» от 4 декабря 2023 года назначен на должность Председателя Правления Банка.