2005 жылы Т. Рысқұлов атындағы Қазақ экономикалық университетін «Қаржы және бухгалтерлік есеп» мамандығы бойынша үздік бітірген. 2004 жылы Халықаралық бизнес академиясында оқыды, мамандануы – MBA бағдарламасының басқару модулі (кәсіби менеджер). 2008-2009 жылдары «Болашақ» халықаралық бағдарламасы аясында London Business School-да оқу курсын өтті, онда ол Қаржы (корпоративтік қаржы) магистрі дәрежесін алды. Марат Елібаев сондай-ақ Жәутіков атындағы республикалық мамандандырылған физика-математика мектеп-интернатының түлегі болып табылады.

Марат Елібаев кәсіби қызметін 2004 жылы Deloitte «үлкен төрттік» компаниясында аудитор және аға аудитор лауазымынан бастады, онда ол металлургия, тау-кен өндіру өнеркәсібі, мұнай және газ, көлік және логистика, сондай-ақ мемлекеттік компаниялар салаларындағы жобалардың аудитін жүргізді. 

2007 жылдан бастап 2010 жылға дейін PricewaterhouseCoopers компаниясында Қосылу және жұтылу бөлімінің менеджері лауазымында қызмет жолын жалғастырды. 

2010-2014 жылдары CITIC Kazyna Investment Fund I L.P. компаниясында инвестициялық директор/вице-президент лауазымын атқарды.

2014 жылдан бастап Еуропа қайта құру және даму банкінің (ЕҚДБ) Еуразия, Орта Шығыс және Африка Энергетика департаментінің бас банкирі лауазымын атқарды, онда Қазақстандағы жаңартылатын энергия көздері бойынша ЕҚДБ бағдарламасын дамытуға жауапты болды.

25 ақпандағы 2022 жылғы «Қазақстанның Даму Банкі» АҚ Директорлар кеңесінің шешімі Басқарма төрағасының орынбасары болып тағайындалды.